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본 포스팅에서는 벡터 공간 (Vector space)에 대해 다루어 봅니다.

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벡터 공간이란?

벡터 공간이란 벡터 합과 스칼라 곱이라는 두 가지 연산에 대해 닫혀 있고, 영벡터를 포함하는 벡터의 집합을 뜻합니다.

벡터 합과 스칼라 곱

벡터 합이란, 두 벡터 $\vec{u}$와 $\vec{v}$로부터 새로운 벡터 $\vec{w}$를 mapping하는 연산을 뜻하며, 통상적으로 $+$ 기호를 사용하여 나타냅니다. 즉,

\[\vec{u} + \vec{v} = \vec{w}\]

를 만족하며, $\vec{w}$ 또한 같은 벡터 집합에 속해야 합니다.

다음으로 스칼라 곱이란, 벡터 $\vec{u}$와 스칼라 $\alpha$로부터 새로운 벡터 $\alpha \vec{u}$를 mapping하는 연산을 뜻하며, 보통 $\cdot$ 기호로 나타냅니다. 즉,

\[\alpha \cdot \vec{u} = \alpha \vec{u}\]

를 만족하며, $\alpha \vec{u}$ 또한 같은 벡터 집합에 속해야 합니다.

벡터 공간의 Axiom

상기한 조건을 만족하는 벡터 합과 스칼라 곱 연산을 정의한다고 해서 무조건 벡터 공간이 되지는 않습니다. 벡터 공간이 되기 위해서는 위의 연산들이 다음의 axiom들을 만족해야 합니다.

• Associativity of vector addition

\[\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}\]

• Commutativity of vector addition

\[\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\]

• Identity element of vector addition

\[\exists \;\; \vec{0} \in \mathcal{V} \quad \text{s.t.} \quad \vec{v} + \vec{0} = \vec{v} \quad \forall \; \vec{v} \in \mathcal{V}\]

• Inverse element of vector addition

\[\forall \;\; \vec{v} \in \mathcal{V} \;\; \exists \; -\vec{v} \quad \text{s.t.} \quad \vec{v} + \left(-\vec{v}\right) = \vec{0}\]

• Compatibility of scalar multiplication with field multiplication

\[a(b\vec{v}) = (ab)\vec{v}\]

• Identity element of scalar multiplication

\[1\vec{v} = v\]

• Distributivity of scalar multiplication with respect to vector addition

\[a\left(\vec{u} + \vec{v}\right) = a\vec{u} + a\vec{v}\]

• Distributivity of scalar multiplication with respect to field addition

\[\left(a + b\right)\vec{v} = a\vec{v} + b\vec{v}\]

벡터 공간의 예시

벡터 공간의 예시로는 좌표 공간(coordinate space), 함수 공간(function space), 부분공간(subspace), 바나흐 공간(Banach space), 힐베르트 공간(Hilbert space) 등이 있습니다. 각각에 대해서는 별도의 포스팅에서 다루겠습니다.

Summary

벡터 공간이란 axiom을 만족하는 연산 (벡터 합과 스칼라 곱) 이 정의된 벡터의 집합입니다.